Seminários de Sistemas Dinâmicos 2016

Normal Forms for Codimension One Planar Piecewise Smooth Vector Fields

Maximum number of limit cycles for piecewise linear differential systems on the plane 

Linhas assintóticas e linhas de curvatura são temas belos e elegantes da geometria diferencial de superfícies.
O objetivo deste seminário será passar os conceitos da geometria diferencial de uma superfície para um campo de planos (ortogonal a um campo de vetores em R3), introduzir as linhas assintóticas de campos de planos e apresentar o conjunto parabólico de um campo de planos: a região onde a curvatura de Gauss do campo de planos é igual a zero.

Será apresentado uma introdução de teoria geométrica de  problema de perturbação singular, onde mostraremos que um problema regularizado, através do método de regularização introduzido por Sotomayor e Teixeira em 1996, fornece um problema de perturbação singular, neste caso para singularidades regulares, de codimensão 1. Quando as singularidades não são regulares, não temos como utilizar a convensão de Fillipo  Para atacarmos esse problema, vamos aplicar sucessivos "blow-ups" e assim teremos condições de realizar um estudo qualitativo de um campo de vetores suave por partes onde a superfície de descontinuidade possui codimensão maior que um, a saber, mostraremos, os resultados para a região de descontinuidade quando for descontinuidade duplas, triplas, cone ou guarda-chuva de Whitney.

As linhas de Laguerre são definidas pela equação kn'(s)-2 tg(s) kg(s)=0, onde kn'(s) é a derivada da curvatura normal com respeito a s, tg é a torção geodésica e kg a curvatura geodésica. O apresentamos neste trabalho é o resultado de um estudo local.

Resumo: o tema deste trabalho será a teoria das formas normais de campos vetoriais suaves de sistemas forçados (sistemas de equações diferenciais-algébricas não lineares). Neste estudo entraram a teoria qualitativa de equações diferenciais ordinárias, com tópicos como estabilidade, bifurcação (por exemplo do tipo ZIP) e ciclos limite de equações diferenciais (os últimos para os comportamentos que tem natureza periódica) e a teoria das singularidades de funções. O objetivo do trabalho é a classificação e normalização dos sistemas forçados, primeiramente do ponto de vista local e depois o global e tratar de estender esta teoria para variedades diferenciais de dimensão $n\geq 2$.

Apresentamos um estudo sobre as singularidades de configurações associadas às formas diferenciais do tipo:

$w:=P_2(u,v)(du^2-dv^2)+2Q_2(u,v)dudv,$

onde $P_2(u,v)$ e $Q_2(u,v)$, são polinômios homogêneos de grau 2 nas variáveis $u$ e $v$.

Download do resumo: click aqui

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Neste seminário apresento o comportamento local das geodésicas nulas (curvas nulas) na parte lorentziana de uma superfície em R^3 com a métrica induzida pelo produto escalar de minkowski, no caso em que o LD (curva onde a métrica é degenerada) é suave e em alguns casos onde não é. Além disso, mostrarei alguns elementos do comportamento global.

Neste seminário apresentaremos novos resultados em relação ao número máximo de ciclos limite de de algumas famílias de sistemas lineares por partes com duas zonas.

Neste seminário apresentaremos os polinômios de Euler e os polinômios de Bernoulli. São duas classes de polinômios de simétricos com raízes bem definidas no intervalo [0,1]. Veremos também que esses polinômios são aplicáveis a soluções periódicas de campos de vetores descontínuos com chaveamento, facilitando a identificação das órbitas periódicas, além de mostrar estas soluções de maneira explicita.

Neste trabalho, estuda-se ciclos que ocorrem tipicamente em campos vetoriais descontínuos, planares definidos em duas zonas, Z=(X,Y), com variedade de descontinuidade dada pela imagem inversa do 0 por uma função suave h, definida no plano e assumindo valores reais, para a qual 0 é um valor regular. Primeiramente, mostra-se que, se X e Y são campos vetoriais analíticos e C é um policiclo de Z, então, generi- camente, não existem ciclos limite se acumulando em C. Depois disso, o objetivo é estudar bifurcações de ciclos típicos contendo um ponto do tipo sela-regular. Mais especificamente, considera-se ciclos com- postos por um segmento de órbita regular de Z, que cruza a variedade de descontinuidade transversalmente, e um ponto do tipo sela-regular resultando numa conexão quase-homoclínica. São apresentados diagra- mas de bifurcação para o caso onde o raio de hiperbolicidade do ponto de sela é um número irracional, o caso onde o raio de hiperbolicidade da sela é um número racional é ilustrado com alguns modelos.

El objetivo de esta charla es presentar a la comunidad ciertas estruc- turas geométricas que surgen naturalmente en muchos contextos las cuales hemos llamaados G-haces principales con singularidades. Para esto es preciso conocer algunos conceptos y resultados generales sobre haces fibrados, y en especial, sobre haces principales. Esta charla esta dividida en dos partes. En la primera parte damos una motivacíon para el estudio de estos objetos y presentamos algunos resultados so- bre haces principales. La segunda parte esta centrada en el estudio de los haces principales con singularidades y damos algunos ejemplos que justifican su estudio.