Seminário de Sistemas Dinâmicos
Data: 01 de setembro de 2020, às 9:00
Palestrante: Prof. Douglas Hilário
Título: Linhas assintóticas e pontos parabólicos de campos de planos
Link: meet.google.com/rag-qshw-hqx
Resumo: Linhas assintóticas são as curvas integrais das direções nulas da curvatura normal de Euler do campo de planos, que definem duas folheações unidimensionais singulares na região do espaço R3 onde a curvatura de Gauss do campo de planos é negativa ou igual a zero.
Pontos parabólicos são os pontos onde a curvatura de Gauss é igual a zero. Eles são os pontos singulares das linhas assintóticas. A referência é o livro Geometry of Vector Fields, Y. Aminov, 1990.
Será exibido o comportamento das linhas assintóticas em uma vizinhança de uma superfície regular de pontos parabólicos com as propriedades genéricas abaixo.
(1) De um lado da superfície a curvatura de Gauss é negativa e do outro lado é positiva,
(2) Propriedade (1) e, na superfície, as retas tangentes das linhas assintóticas das duas folheações coincidem,
(3) Propriedades (1) e (2) e as linhas assintóticas são tangentes à superfície somente ao longo de uma curva especial regular,
(4) Propriedades (1), (2) e (3) e a reta tangente da linha assintótica é a reta tangente da curva especial somente em pontos isolados.
As propriedades acima são inspiradas nos trabalhos Stability of Gauss maps, D. Bleeker and L. Wilson, 1978, [1], [2], [3] e [4].
Os trabalhos Invariant Manifolds, M. Hirsch, C. Pugh, M. Schub e Generic Hopf bifurcation from lines of equilibria without parameters I, B. Fiedler, S. Liebscher, J. Alexander, 2000, são importantes para a análise do campo de vetores cujas curvas integrais estão associadas às linhas assintóticas.
Nosso trabalho é inspirado pelos trabalhos de Maurício Peixoto, Jorge Sotomayor e Ronaldo Garcia, especialmente pelos trabalhos:
[1] M. Peixoto, Structural stability on two-dimensional manifolds, 1962.
[2] M. Peixoto, On an approximation theorem of Kupka and Smale, 1966.
[3] R. Garcia, J. Sotomayor. Structural stability of parabolic points and periodic asymptotic lines, 1997.
[4] C. Gutierrez, R. Garcia, J. Sotomayor. Structural stability of asymptotic lines on surfaces immersed in R3, 1999.