Seminários de Sistemas Dinâmicos 2017

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Resumo:  Em diversos estudos em neurociência, assume-se que o elemento básico não é um único neurônio, mas sim, um
conjunto de neurônios. Como por exemplo, pode-se citar a coluna cortical, tipicamente formada por dezenas de
neurônios e que pode ser considerada como unidade de processamento do córtex cerebral. Um modelo famoso que
descreve a evolução temporal da atividade elétrica de populações neuronais é o proposto por Hughh R. Wilson e
Jack D. Cowan [1], em 1972. Tal modelo consiste de duas equações diferenciais de primeira ordem não lineares, que
representam a interação entre duas populações de neurônios que são distinguidas pelo fato de que suas sinapses são
excitatórias ou inibitórias.

du/dt = -u + f(I_u + w_{ee}u - w_{ie}v);
Tdv/dt = -v + f(I_v + w_{ei}u - w_{ii}v).

Onde f é uma função não linear, não negativa e não decrescente, chamada função de disparo, a qual será considerada
como uma função degrau, o que nos leva ao estudo de bifurcações em sistemas não suaves.

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Tenho como objetivo descrever as linhas principais de superfícies “clássicas” no espaço deMinkowski R^{2,1} = (R^3,<.,.>), onde <u, v> = u1v1 + u2v2 − u3v3, e em alguns casos fazer a comparação com as linhas principais das mesmas superfícies no espaço E^3=(R^3,<.,.>e) (o espaço vetorial R^3 com o produto escalar euclideano).

As superfícies clássicas que vamos considerar são: planos, cones, elipsóides, hiperbolóides de uma e duas folhas e superfícies de revolução.

Referências:
[DBS07] Genin Daniel, Khesin Boris, and Tabachnikov Serge. Geodesics on an ellipsoid in minkowski space. L’Enseignement Mat ́ematique, pages 3–4, 2007.

[GS09] R. Garcia and J. Sotomayor. Differential Equations of Classical Geometry, a Qualitative
Theory. Publicações matem áticas. IMPA, 2009.

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Resumo:  A smooth surface in three dimensions has a ridge point when a line of curvature has a local maximum or minimum of principal curvature or equivalently a point on a smooth surface M is called a ridge point if it is an A3-singularity of some distance squared function on M. The closure of the set of the ridge points is called the ridge of the surface M. The ridges of a given surface fall into two families, typically designated red and blue, depending on which of the two principal curvatures has an extremum.

At umbilical points the colour of a ridge will change from red to blue. There are two main cases: one has three ridge lines passing through the umbilic, and the other has one line passing through it.

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Resumo: Considere a imersão α de uma superfície M no espaçoo de Minkowski R 2,1 . O trópico de \alpha(M) é a curva onde o discriminante da primeira forma fundamental se anula, a qual genericamente é uma curva regular tipo espaço com pontos isolados tipo luz que divide a superfície na parte riemanniana e na lorentziana. O LPL é a curva onde o discriminante da equação de linhas de curvatura se anula, a qual é regular excepto em pontos isolados (singularidades tipo tempo). O LP L esta contida na parte lorentziana da imersão e pode ser caraterizada pelos pontos onde as duas direções principais coincidem e convertem numa direção luz.

Em geral, para uma imersão \aplha : M −→ R 2,1 , vamos ter quatro tipos de ciclos principais:

• tipo espaço: são curvas fechadas tipo espaço contidas na parte riemanniana ou lorentziana de α sem intersetar ao trópico.

• que mudam de cárter: são curvas fechadas que intersetam transversalmente ao trópico com arcos tipo espaço na parte riemanniana e tipo tempo na parte lorentziana.

• no trópico: são curvas fechadas tipo espaço contidas no trópico.

• suaves por partes: são curvas fechadas que intersetam ao LPL de \alpha (onde elas são não suaves). Tem arcos tipo tempo e espaço, e podem intersetar ao trópico

Neste seminário apresento como calcular a derivada da transformação do primeiro retorno em cada caso. Quando os ciclos principais não for hiperbólicos, fazemos uma adequada perturbação para que seja hiperbólico. [GS09], [Wen96], [Kuh06]

Referências

[GS09] R. Garcia and J. Sotomayor. Differential Equations of Classical Geometry, a Qualitative Theory. Publicações s matemáticas. IMPA, 2009.

[Kuh06] Wolfgang Kuhnel. Differential geometry : curves - surfaces - manifolds. American Mathematical Society, 2006.

[Wen96] Tilla Wenstein. An Introduction to Lorentz Surfaces. Walter de Gluyter, 1996.

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Resumo: A teoria de superfícies em R4 é bonita, elegante e misteriosa. Veja por exemplo o trabalho de Karl Kommerell [1], o trabalho de John Little [2] e o capítulo 8 do livro [3] e sua lista de referências.

Linhas assintóticas de uma superfície em R4 são definidas por uma equação diferencial implícita. Vamos definir esta equação e dar a sua interpretação geométrica. Depois, dada uma curva regular fechada em R4, vamos estudar superfícies em R4 tais que
esta curva é uma linha assintótica da superfície.

As equações diferenciais da geometria diferencial possuem uma história muito bonita (veja [4] e sua lista de referências).

Referências
[1] Karl Kommerell. Riemannsche Flachen im ebenen Raum von vier Dimensionen. 1905.
[2] John Little. On singularities of submanifolds of higher dimensional Euclidean spaces. 1969.
[3] R. Garcia, J. Sotomayor. Differential Equations of Classical Geometry, a Qualitative Theory. 2009.
[4] R. Garcia, J. Sotomayor. Historical Comments on Monge’s Ellipsoid and the Configurations of Lines of Curvature on Surfaces. 2016.

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Resumo: Nesta palestra estudamos a existência de órbitas simétricas periódicas do problema dos 3-corpos quando cada corpo possui massa e uma carga elétrica. A principal técnica aplicada neste estudo é o método de continuação de Poincaré. Um dos problemas mais relevantes na área de Sistemas Dinâmicos é o problema dos n-corpos e muitos trabalhos foram feitos para compreender sua dinâmica. Assim, o estudo de suas órbitas periódicas é um dos principais objetivos. Neste trabalho, focalizamos a atenção nas órbitas periódicas do problema 3-corpos quando estes são colineares e carregadas eletricamente. Recentemente, muitas técnicas e métodos distintos foram usados para provar a existência de órbitas periódicas para o problema dos n-corpos, por exemplo, teoria da média, análise numérica, funções de Melnikov, formas normais, métodos variacionais, entre outros. Um dos primeiros estudos analíticos sobre a existência de órbitas periódicas para o problema dos n-corpos foi feito por Poincaré e nesse trabalho nós aplicaremos seu método para estudar as órbitas periódicas simétricas do problema dos 3-corpos colineares carregados eletricamente. O método de continuação de Poincaré consiste em fornecer uma solução para o sistema com um parâmetro igual a zero e dar condições para estender esta solução a pequenos valores do parâmetro.

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